روش تکرار نقطه ثابت

در بحث محاسبه غلظتهای تعادلی در واکنشهای تعادلی، همچنین خوب است با بحث حل معادلات با استفاده از روشهای عددی آشنا باشیم. همانطور که تاکنون دیدهایم، در اغلب موارد برای بدست آوردن غلظتهای تعادلی نیازمند حل معادلات و بدست آوردن مجهولات درنظر گرفته شده هستیم. برای حل معادلات بطور کلی دو دسته روش درنظر گرفته میشود: روشهای تحلیلی و روشهای عددی یا معادلاً روشهای مستقیم (Direct Methods) و روشهای تکرار شونده (Iterative Methods). روشهای مستقیم جواب دقیق یک معادله را براساس یک الگوریتم معین و با طی تعدادی مراحل مشخص نتیجه میدهند. بعنوان مثال روش دلتا یک روش مستقیم برای یافتن جوابها یا ریشههای معادلات درجه دو است. متأسفانه برای حل بسیاری از معادلات روشهای مستقیم وجود ندارد و ما برای حل اغلب معادلات مجبوریم به روشهای تکرار شونده یا عددی متوسل شویم. روش های عددی متنوعی وجود دارند و بسیاری از نرمافزارها در کامپیوترها یا ماشین حسابها از این روشها به یافتن جواب استفاده میکنند. در اینجا ما یک روش عددی برای حل معادلات به نام تکرار نقطه ثابت (Fixed-point Iteration) را ارائه میدهیم.

نقاط ثابت یک تابع نقاطی هستند که برای آنها خروجی تابع با ورودی برابر است. بعبارتی برای تابع ، نقاطی که در صدق میکنند، نقاط ثابت تابع محسوب میشوند. صفرهای تابع نقاطی هستند که بازای آنها است یا بعبارتی صفرهای تابع ، جوابهای معادله هستند. در روش تکراری نقطه ثابت برای یافتن جوابهای معادله (یا همان صفرهای تابع )، ابتدا را به صورت یا درمیآوریم (بعنوان مثال است). سپس با استفاده از روش زیر نقاط ثابت تابع را که همان صفرهای تابع یا جوابهای معادله است، مییابیم. روش بدین صورت است که یک حدس اولیه برای بعنوان جواب بصورت دلخواه درنظر میگیریم و برای درنظر گرفته شده را محاسبه میکنیم. سپس محاسبه شده را بعنوان جدید درنظر میگیریم و مجدداً را اینبار برای جدید محاسبه میکنیم و به همین صورت ادامه میدهیم. (آیا میتوانید بگوئید چرا برای چنین روشهایی واژه تکرار شونده را (Iterative Methods) بکار میبرند؟!!). اگر خوش شانس باشیم، خواهیم دید که و به همدیگر میل میکنند یا بعبارتی مقدار آنها به همدیگر نزدیکتر می شود. بنابراین یکی از نقاط ثابت تابع یا درواقع جواب معادله برای ما معلوم میشود. این روش به صورت الگوریتم زیر میتواند نشان داده شود:


 

 


 


دقت داشته باشید که در نمایش الگوریتم، از بیضی برای نمایش شروع و پایان، از مستطیل برای بیان دستورالعمل، از لوزی برای بیان شرط و از دایره برای بیان نتیجه استفاده میکنند. برای این روش مثال زیر را درنظر بگیرید:

مثال: یکی از جوابهای معادله زیر را به روش تکرار نقطه ثابت بیابید.

حل:

ابتدا را بصورت داریم. بعنوان مثال داریم:

بنابراین میتواند برابر درنظر گرفته شود. بعنوان حدس اولیه برای ، را درنظر میگیریم. سپس محاسباتی به صورت زیر انجام میدهیم:

همانطور که دیده میشود، هم مقدار و هم مقدار به نزدیک میشود و بنابراین یکی از نقاط ثابت تابع و یکی از جوابهای معادله است (این مطلب را چگونه میتوانید چک کنید؟!)

دقت داشته باشید که چه برای این مسئله و چه برای مسائل دیگر میتوان ها و حدسهای اولیه گوناگونی درنظر گرفت. بعنوان مثال میتوانستیم یک دیگر به صورت زیر بدست آوریم:

بنابراین میتواند برابر درنظر گرفته شود. بعنوان حدس اولیه برای ، را درنظر میگیریم. سپس محاسباتی به صورت زیر انجام میدهیم:

بنابراین با تغییر و حدس اولیه برای یکی دیگر از جوابهای معادله را پیدا نمودیم.

*****

دقت داشته باشید که در مثال قبل خوش شانس بودیم که به جواب رسیدیم!!! در حالت کلی ممکن است در یک حلقه بدام بیفتیم، نتوانیم را حساب کنیم و...، یا بعبارتی نتوانیم به جواب برسیم. در اینصورت بایستی یا حدس اولیه یا فرم تابع را عوض نمائیم و امیدوار باشیم که با مقدار جدید برای حدس اولیه یا فرم جدید تابع به جواب برسیم. همچنین باتوجه به مثال قبل میبینیم که مقدار به دو صورت زیر به جواب نهایی میل میکند (آیا میتوانید دو صورت زیر را توصیف نمائید؟!!):

 

 

 

 


حال کاربرد این روش را در یک مسئله تعادل نشان میدهیم.

مثال: واکنش تعادلی زیر را درنظر بگیرید:

در شروع محلول محتوی از و مواد بیاثر بر واکنش تعادلی بالا است. به محلول مقدار زیادی میافزائیم. بعد از برقراری تعادل، غلظت و را بدست آورید.

حل:

در شروع باتوجه به اطلاعات مسئله غلظت اولیهبرابر صفر است و بنابراین و واکنش تعادلی بایستی در جهت رفت پیشرفت کند. بعلت زیاد بودن مقدار نگران تمام شدن آن نیستیم و تعادل در نهایت برقرار خواهد شد. باتوجه به مقدار خیلی کوچک ثابت تعادل واکنش، واکنش یک واکنش غیرکمّی است و فرض میکنیم با پیشرفت باندازه (یک عدد فوقالعاده کوچک) در جهت رفت، تعادل برقرار شود. بعبارتی داریم:

:شروع

:تعادلی

باتوجه به غیرکمّی بودن واکنش و ناچیز بودن ، از در مقابل صرفنظر میکنیم و مینویسیم:

دقت کنید که کوچک است، اما در مقابل قابل صرفنظر کردن نیست و اجازه نداریم را بطور تقریبی برابر فرض نمائیم. بنابراین بایستی به صورت زیر عمل کنیم:

معادله حاصله برای ، یک معادله از درجه نسبت به است که فرمول معینی برای حل آن وجود ندارد و بنابراین بروش تکرار نقطه ثابت به صورت زیر متوسل میشویم:

باتوجه به عملیات بالا، به فرم است. با شروع از حدس اولیه داریم:

بنابراین است و غلظتهای تعادلی و بصورت زیر هستند:

*****

خوشبختانه پیادهسازی روش تکرار نقطه ثابت با ماشین حسابهای دارای دکمه ساده است. کافیست حدس اولیه را در ماشین حساب وارد کنید (مثلاً حدس اولیه را نوشته و دکمه = یا یا یا... را بزنید). سپس را بصورت وارد نمائید (مثلاً اگر است، در ماشین حساب را وارد نمائید) و سپس آنقدر دکمه = یا یا یا... را بزنید که عدد نمایش داده شده در صفحه نمایش ماشین حساب تقریباً ثابت شود. با اینکار خود ماشین حساب را حساب کرده و بعنوان جدید درنظر میگیرد و اگر خوششانس باشیم، با تکرار اینکار به جواب خواهیم رسید (و اگر خوششانس نبودیم، چه کار باید کنیم؟!!!).

 

 

 

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

**************************************************

سایت: www.youngchemist.com

مولف: محمد شاهی

نظرات، پیشنهادات و انتقادات: chemistry.shahi@gmail.com

**************************************************

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||